Real algebraic curves in real del Pezzo surfaces

Courbes algébriques réelles dans les surfaces de del Pezzo réelles

Matilde Manzaroli (1)

1 CMLS - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

The study of the topology of real algebraic varieties dates back to the work of Harnack, Klein and Hilbert in the 19th century; in particular, the isotopy type classification of real algebraic curves with a fixed degree in RP2 is a classical subject that has undergone considerable evolution. On the other hand, apart from studies concerning Hirzebruch surfaces and at most degree 3 surfaces in RP3, not much is known for more general ambient surfaces. In particular, this is because varieties constructed using the patchworking method are hypersurfaces of toric varieties. However, there are many other real algebraic surfaces. Among these are the real rational surfaces, and more particularly the R-minimal surfaces. In this thesis, we extend the study of the topological types realized by real algebraic curves to the real minimal del Pezzo surfaces of degree 1 and 2. Furthermore, we end the classification of separating and non-separating real algebraic curves of bidegree (5,5) in the quadric ellipsoid.

L’étude topologique des variétés algébriques réelles remonte au moins aux travaux de Harnack, Klein, et Hilbert au 19éme siecle; en particulier, la classification des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles d’un degré fixé dans RP2 est un sujet qui a connu un essor considérable jusqu'à aujourd'hui. En revanche, en dehors des études concernants les surfaces de Hirzebruch et les surfaces de degré au plus 3 dans RP3, à peu près rien n’est connu dans le cas de surfaces ambiantes plus générales. Cela est du en particulier au fait que les variétés construites en utilisant le "patchwork" sont des hypersurfaces de variétés toriques. Or, il existe de nombreuses autre surfaces algébriques réelles. Parmi celles-ci se trouvent les surfaces rationnelles réelles, et plus particulièrement les surfaces rèelles minimales. Dans cette thèse, on élargit l’étude des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles aux surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 1 et 2. En outre, on termine la classification des types topologiques réalisés par les courbes algébriques réelles séparantes et non-séparantes de bidegré (5,5) sur la quadrique ellipsoide.

Mots clés: Classification of isotopy types; Real algebraic curves; Minimal real rational surfaces; Hilbert's 16th problem; Del Pezzo surfaces; Quadric ellipsoid

Mots clés: Classification des types d'isotopie; Courbes algébriques réelles; Surfaces rationnelles réelles minimales; 16ème problème de Hilbert; Surfaces de del Pezzo; Quadric ellipsoide

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]; Topologie algébrique [math.AT]; Topologie géométrique [math.GT]

Matilde Manzaroli. Real algebraic curves in real del Pezzo surfaces. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Paris Saclay (COmUE), 2019. English. ⟨NNT : 2019SACLX017⟩. ⟨tel-02270776⟩